Du har två olika sätt att definiera intervall i matematik. Om du gör statistik betyder ”intervallet” vanligtvis skillnaden mellan det högsta värdet och det lägsta värdet i en datauppsättning. Om du gör algebra eller kalkyl, förstås ”intervallet för en uppsättning data” som den övre och nedre gränsen för en uppsättning möjliga resultat, eller utdatavärden, för en funktion.
Intervall i statistik
Om du blir ombedd att hitta intervallet i statistik, blir du helt enkelt ombedd att hitta det största och minsta antalet i din data set och hitta sedan skillnaden mellan dem. Varje gång du hör ”skillnad” är det en ledtråd som du är på väg att subtrahera. Områdesformeln är följande:
Tips
Glöm inte att inkludera några enheter (fot, tum, pund, gallon, etc.) som kan läggas till din datamängd.
Intervallsexempel 1
Föreställ dig att du smög en kika i din lärares anteckningsbok och du såg att hittills är elevernas betygsprocent i klassen {95, 87, 62, 72, 98, 91, 66, 75}. Lockiga parenteser används ofta för att omsluta en uppsättning siffror, så att du vet att allt inom de lockiga parenteserna hör ihop.
Vad är intervallet för denna datamängd eller, för att uttrycka det på ett annat sätt, intervallet för elevernas betyg? Identifiera först den högsta datapunkten (98) och den lägsta datapunkten (62). Subtrahera sedan det minsta värdet från det största värdet:
Intervallet för en funktion
När du börjar studera funktioner i matematik kommer du att stöta på en andra definition av intervall. För att förstå räckvidden hjälper det att tänka på funktioner som små matematiska maskiner. Uppsättningen värden du kan lägga in i matematikmaskinen kallas domänen (ett annat mycket viktigt begrepp). Uppsättningen av möjliga resultat, när du väl vrider dessa värden genom matematikmaskinen, kallas kodomän och uppsättningen av faktiska resultat eller utdata du får kallas räckvidd/intervall.
Det finns ett par viktiga samband mellan intervall och domän som du behöver förstå. För det första, inom domän och intervall för reella tal, motsvarar varje värde i domänen endast ett värde i intervallet för din funktion. Om något eller några värden i domänen motsvarar mer än ett värde i intervallet kan du ha ett samband mellan de två uppsättningarna av data, men det klassificeras inte tekniskt som en klassisk funktion. Det är dock möjligt för mer än ett domänvärde att motsvara samma värde i den funktionens intervall.
Tips
Denna regel om en till en överensstämmelse gäller bara för vad som kallas injektiva funktioner i matematik. Det finns många andra typer av funktioner som använder olika domän- och intervallrelationer (och även imaginära tal).
Ett av de bästa sätten att vara vettiga av detta är att föreställa dig din egen matteklass. Eleverna i klassen representerar domänen (eller informationen som går in i funktionen), medan själva klassen är funktionen eller ”mattemaskinen”. Dina slutbetyg representerar intervallet, eller vad du får efter att ha vridit elementen i domänen (elever) genom funktionen (matteklass).
När du tittar på det exemplet kan du intuitivt se att varje elev bara kommer att få ett slutbetyg när lektionen är över. Varje värde i domänen motsvarar endast ett värde i intervallet. Det är dock möjligt för fler än en elev att få samma betyg. Till exempel kan det finnas två eller tre elever i din klass som pluggade mycket hårt och lyckades få 96 procent som sitt slutbetyg. Flera värden i domänen kan motsvara ett enda värde i intervallet.
Intervall exempel 2
Föreställ dig att du har att göra med funktionen x^2, med en domän begränsad till { −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}. Vad är räckvidden för denna funktion?
Även om du kommer att lära dig mer avancerade sätt att hitta intervallet senare, är det enklaste sättet att hitta intervallet för denna funktion för närvarande för att tillämpa funktionen på varje element i domänen och spåra dina resultat. Med andra ord, infoga varje element i domänen, ett i taget, ax i funktionen x^2. Detta ger dig en uppsättning resultat:
Men som du kan se upprepas vissa element där. Att påminna om exemplet med matematikbetyg som en funktion, det är okej; mer än en elev kan sluta med samma betyg, eller mer än ett element i domänen kan ”peka” på samma element i intervallet. Men du vill inte skriva ner de upprepade elementen när du ger intervallet. Så ditt svar är helt enkelt:
Lägg märke till hur de positiva talen och negativa siffror i domänen spelar olika roller i intervallet (i termer av vilka domänvärden som motsvarar de högsta siffrorna och lägsta talen). Dessa relationer är ofta unika för en funktion.
Vad använder vi intervall till?
Beskrivande statistik kan använda många mätvärden för att beskriva data, och intervall är mycket användbart för att sätta dessa andra mätningar i sitt sammanhang. Aritmetiska medelvärden och medianer anses vara mått på central tendens (eller vilket värde en uppsättning data kan ”finnas kring”). Standardavvikelse och interkvartilintervall är också användbara för att indikera fördelningen av data runt dessa medelvärden och medianer, men intervallet ger ytterligare viktig information om den övergripande spridningen av data och möjlig påverkan från externa data.
