Bokstaven E kan ha två olika betydelser i matematik, beroende på om det är ett stort E eller ett gement e. Du ser vanligtvis det stora E på en miniräknare, där det betyder att höja talet som kommer efter det till en potens av 10. Till exempel skulle 1E6 stå för 1 × 106, eller 1 miljon. Normalt är användningen av E reserverad för siffror som skulle vara för långa för att visas på kalkylatorns skärm om de skrevs ut med lång hand.
Matematiker använder gemener e för ett mycket mer intressant syfte – för att beteckna Eulers tal. Detta tal, liksom π, är ett irrationellt tal, eftersom det har en icke-återkommande decimal som sträcker sig till oändligheten. Liksom en irrationell person verkar ett irrationellt tal vara meningslöst, men talet som e betecknar behöver inte vara vettigt för att vara användbart. Faktum är att det är ett av de mest användbara siffrorna i matematik.
E i vetenskaplig notation, och innebörden av 1E6
Du behöver ingen miniräknare för att använda E för att uttrycka ett tal i vetenskaplig notation. Du kan helt enkelt låta E stå för basroten av en exponent, men bara när basen är 10. Du skulle inte använda E för att stå för bas 8, 4 eller någon annan bas, speciellt om basen är Eulers tal, t.ex.
När du använder E på detta sätt skriver du numret xEy där x är den första uppsättningen heltal i talet och y är exponenten. Till exempel skulle du skriva talet 1 miljon som 1E6. I vanlig vetenskaplig notation är detta 1 × 106, eller 1 följt av 6 nollor. På samma sätt skulle 5 miljoner vara 5E6 och 42 732 skulle vara 4,27E4. När du skriver ett tal i vetenskaplig notation, oavsett om du använder E eller inte, avrundar du vanligtvis till två decimaler.
Var kommer Eulers nummer, e, ifrån?
Siffran som representeras av e upptäcktes av matematikern Leonard Euler som en lösning på ett problem en annan matematiker, Jacob Bernoulli, 50 år tidigare. Bernoullis problem var ekonomiskt.
Antar att du lägg 1 000 dollar i en bank som betalar 100 % årlig sammansatt ränta och lämna den där i ett år. Du kommer att ha 2 000 dollar. Anta nu att räntan är hälften så mycket, men banken betalar den två gånger om året. Vid slutet av ett år skulle du ha 2 250 USD. Anta nu att banken bara betalade 8,33 %, vilket är 1/12 av 100 %, men betalade det 12 gånger om året. I slutet av året skulle du ha $2 613. Den allmänna ekvationen för denna progression är:
bigg(1 +frac{r}{n}bigg)^n där r är 1 och n är betalningsperioden.
Det visar sig att, som n närmar sig oändligheten kommer resultatet närmare och närmare e, vilket är 2,7182818284 till 10 decimaler. Så här upptäckte Euler det. Den maximala avkastningen du kan få på en investering på 1 000 USD under ett år skulle vara 2 718 USD.
Eulers nummer i naturen
Exponenter med e som bas kallas naturliga exponenter, och här är anledningen. Om du ritar en graf av y = e^x du får en kurva som ökar exponentiellt, bara som du skulle göra om du ritade kurvan med bas 10 eller något annat tal. Däremot är kurvan y = ex har två speciella egenskaper. För något värde av x, värdet på y är lika med värdet på grafens lutning vid den punkten , och det är också lika med arean under kurvan fram till den punkten. Detta gör e till ett särskilt viktigt tal i kalkyl och inom alla vetenskapsområden som använder kalkyl.
Den logaritmiska spiralen, som representeras av ekvationen r = ae^{bθ} finns i hela naturen, i snäckskal, fossiler och och blommor. Dessutom dyker e upp i många vetenskapliga sammanhang, inklusive studier av elektriska kretsar, lagarna för uppvärmning och kylning och fjäderdämpning. Även om det upptäcktes för 350 år sedan, fortsätter forskare att hitta nya exempel på Eulers tal i naturen.
