Matematiska funktioner är kraftfulla verktyg för företag, teknik och vetenskap eftersom de kan fungera som miniatyrmodeller av verkliga fenomen. För att förstå funktioner och relationer behöver du gräva lite i begrepp som mängder, ordnade par och relationer. En funktion är en speciell typ av relation som bara har ett y-värde för ett givet x-värde. Det finns andra typer av relationer som ser ut som funktioner men som inte uppfyller den strikta definitionen av en.
En relation är en uppsättning tal organiserade i par. En funktion är en speciell typ av relation som bara har ett y-värde för ett givet x-värde.
Set, beställda par och relationer
För att beskriva relationer och funktioner, det hjälper att först diskutera set och beställda par. Kortfattat är en uppsättning siffror en samling av dem, vanligtvis inkluderade inom klammerparenteser, som {15,1, 2/3} eller {0,.22}. Vanligtvis definierar du en uppsättning med en regel, till exempel alla jämna tal mellan 2 och 10, inklusive: {2,4,6,8,10}.
En mängd kan ha valfritt antal element, eller inga alls, det vill säga nollmängden {}. Ett ordnat par är en grupp av två tal omslutna inom parentes, såsom (0,1) och (45, −2). För enkelhetens skull kan du kalla det första värdet i ett ordnat par för x-värdet och det andra för y-värdet. En relation organiserar ordnade par i en uppsättning. Till exempel är mängden {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relation. Du kan plotta värdena x och y för en relation på en graf med hjälp av x och y axlar.
Relationer och funktioner
En funktion är en relation där en given x-värdet har bara ett motsvarande y-värde. Du kanske tror att med ordnade par har varje x bara ett y-värde ändå. Men i exemplet på en relation som ges ovan, notera att x-värdena 1 och 2 vardera har två motsvarande y värden, 0 och 5, respektive 10 och 15. Denna relation är inte en funktion. Regeln ger funktionsrelationen en definitivitet som annars inte existerar, i termer av x-värden. Du kan fråga dig, när x är 1, vad är y-värdet? För ovanstående relation har frågan inget definitivt svar; det kan vara 0, 5 eller båda.
Undersök nu ett exempel på en relation som är en sann funktion: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Värdena x upprepas inte någonstans. Som ett annat exempel, titta på {( −1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Vissa y-värden upprepas, men detta bryter inte mot regeln. Du kan fortfarande säga att när värdet av x är 0, är y definitivt 5.
Graffunktioner: Vertikal Linjetest
Du kan se om en relation är en funktion genom att plotta siffrorna på en graf och använda det vertikala linjetestet. Om ingen vertikal linje som går genom grafen skär den vid mer än en punkt, är relationen en funktion.
Fungerar som ekvationer
Att skriva ut en uppsättning ordnade par som en funktion gör för ett enkelt exempel, men blir snabbt tråkigt när du har fler än några siffror. För att lösa detta problem skriver matematiker funktioner i termer av ekvationer, såsom y = x^2 – 2x + 3.
Genom att använda den här kompakta ekvationen kan du generera så många ordnade par som du vill: Koppla in olika värden för x, räkna ut och ut y-värden.
Verkliga användningar av funktioner
Många funktioner fungerar som matematiska modeller , vilket gör att människor kan förstå detaljer om fenomen som annars skulle förbli mystiska. För att ta ett enkelt exempel är avståndsekvationen för ett fallande föremål d = frac{1}{2} gt^2 där t är tiden i sekunder och g är accelerationen på grund av gravitationen. Koppla in 9,8 för jordens gravitation i meter per sekund i kvadrat, så kan du hitta avståndet som ett objekt tappade när som helst. Observera att modellerna har begränsningar trots all användbarhet. Exempelekvationen fungerar bra för att tappa en stålkula men inte en fjäder eftersom luften saktar ner fjädern.
