Vet du det verkliga värdet av Pi?

En av de mest använda konstanterna genom matematiken är talet pi, som betecknas med den grekiska bokstaven π. Begreppet pi har sitt ursprung i geometrin, men detta tal har tillämpningar inom matematik och dyker upp i långtgående ämnen, inklusive statistik och sannolikhet. Pi har till och med fått kulturellt erkännande och sin egen semester, med firandet av Pi Day-aktiviteter runt om i världen.

Värdet på Pi

Pi definieras som förhållandet av en cirkels omkrets till dess diameter. Värdet på pi är något större än tre, vilket betyder att varje cirkel i universum har en omkrets med en längd som är lite mer än tre gånger dess diameter. Mer exakt har pi en decimal representation som börjar 3.14159265… Detta är bara en del av decimalexpansionen på pi.

Pi-fakta

Pi har många fascinerande och ovanliga egenskaper, inklusive:

Pi är ett irrationellt reellt tal. Detta innebär att pi inte kan uttryckas som en bråkdel a/b där a och b är båda heltal. Även om siffrorna 22/7 och 355/113 är användbara för att uppskatta pi, är inget av dessa bråk det verkliga värdet av pi.

Eftersom pi är ett irrationellt tal, avslutas eller upprepas dess decimalexpansion aldrig. Det finns några frågor om denna decimalexpansion, till exempel: Visas alla möjliga siffror någonstans i decimalexpansionen av pi? Om alla möjliga strängar visas, är ditt mobiltelefonnummer någonstans i expansionen av pi (men det är alla andras också).

Pi är ett transcendentalt tal. Detta betyder att pi inte är noll i ett polynom med heltalskoefficienter. Detta faktum är viktigt när man utforskar mer avancerade funktioner hos pi.

Pi är geometriskt viktig, och inte bara för att det relaterar omkretsen och diametern på en cirkel. Detta nummer visas också i formeln för arean av en cirkel. Arean av en cirkel med radie r är A = pi r2
. Talet pi används i andra geometriska formler, som ytan och volymen av en sfär, volymen av en kon och volymen av en cylinder med en cirkulär bas.

Pi visas när minst förväntat. För ett av många exempel på detta, betrakta den oändliga summan 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +… Denna summa konvergerar till värdet pi2/6.
Pi i statistik och sannolikhet
Pi gör överraskande framträdanden genom hela matematiken, och några av dessa framträdanden är i ämnena sannolikhet och statistik. Formeln för standardnormalfördelningen, även känd som klockkurvan, har talet pi som en normaliseringskonstant. Med andra ord, om du dividerar med ett uttryck som involverar pi kan du säga att arean under kurvan är lika med ett. Pi är en del av formlerna för andra sannolikhetsfördelningar också.
En annan överraskande förekomst av pi i sannolikhet är ett flera hundra år gammalt nålkastningsexperiment. På 1700-talet ställde Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon en fråga om sannolikheten att tappa nålar: Börja med ett golv med träplankor med en enhetlig bredd där linjerna mellan var och en av plankorna är parallella med varandra. Ta en nål med en längd som är kortare än avståndet mellan plankorna. Om du tappar en nål på golvet, vad är sannolikheten att den hamnar på en linje mellan två av träplankorna?
Som det visar sig är sannolikheten att nålen landar på en linje mellan två plankor dubbelt så stor nålens längd dividerat med längden mellan plankorna gånger pi.