Vet du hur man använder ”Om och bara om” i matematiska formler?

När man läser om statistik och matematik är en fras som dyker upp regelbundet ”om och bara om.” Denna fras förekommer särskilt i påståenden om matematiska satser eller bevis. Men exakt vad betyder detta påstående?

Vad betyder om och bara om betyder i matematik?

För att förstå ”om och bara om” måste vi först veta vad som menas med ett villkorligt uttalande. Ett villkorligt uttalande är ett som bildas av två andra uttalanden, som vi kommer att beteckna med P och Q. För att bilda ett villkorligt uttalande kan vi säga ”om P så Q.”

Följande är exempel på denna typ av påstående:

Om du studerar hårt, då får du ett A.

Om n är delbart med 4, sedan n är delbart med 2.

Converse and Conditionals

Tre andra påståenden är relaterade till alla villkorliga påståenden. Dessa kallas motsatsen, inversen och kontrapositiva. Vi skapar dessa påståenden genom att ändra ordningen för P och Q från det ursprungliga villkorliga och infoga ordet ”inte” för invers och kontrapositiv.

Vi behöver bara överväga det omvända här. Detta uttalande erhålls från originalet genom att säga ”om Q så P.” Anta att vi börjar med villkoret ”om det regnar ute, då tar jag med mig mitt paraply på min promenad.” Motsatsen till detta uttalande är ”om jag tar mitt paraply med mig på min promenad, då regnar det ute.”

Vi behöver bara överväga detta exempel för att inse att det ursprungliga villkorliga inte är logiskt detsamma som dess omvända. Förvirringen av dessa två påståendeformer kallas ett omvänt fel. Man kan ta ett paraply på en promenad även om det kanske inte regnar ute.

Som ett annat exempel betraktar vi det villkorliga ”Om ett tal är delbart med 4 så är det delbart med 2.” Detta påstående är helt klart sant. Men detta påståendes omvända ”Om ett tal är delbart med 2, så är det delbart med 4” är falskt. Vi behöver bara titta på ett tal som 6. Även om 2 delar detta tal, gör 4 det inte. Även om det ursprungliga påståendet är sant, är dess motsats inte det.

Biconditional

Detta ger oss till ett bivillkorligt uttalande, som också är känt som ett ”om och endast om”-påstående. Vissa villkorliga påståenden har också motsatser som är sanna. I det här fallet kan vi bilda vad som kallas ett bivillkorligt påstående. Ett tvåvillkorligt påstående har formen :

”Om P så Q, och om Q så P.”

Eftersom denna konstruktion är något besvärlig, speciellt när P och Q är deras egna logiska påståenden , förenklar vi uttalandet av en bivillkorlig genom att använda frasen ”om och endast om.” I stället för att säga ”om P då Q, och om Q då P” säger vi istället ”P om och endast om Q.” Denna konstruktion eliminerar vissa redundans

Statistik Exempel

För ett exempel på frasen ”om och bara om” som involverar statistik, leta inte längre än ett faktum om urvalets standardavvikelse. Provets standardavvikelse för en datamängd är lika med noll om och endast om alla datavärden är identiska.

Vi bryter detta bivillkorliga uttalande i ett villkorligt och dess motsats. Sedan ser vi att detta uttalande betyder båda av följande:

Om standardavvikelsen är noll, då alla datavärden är identiska.

Om alla datavärden är identiska är standardavvikelsen lika med noll.

Bevis på bivillkor

Om vi ​​försöker bevisa ett bivillkor, så slutar vi för det mesta med att vi delar upp det. Detta gör att vårt bevis har två delar. En del vi bevisar är ”om P då Q.” Den andra delen av beviset vi behöver är ”om Q då P.”

Nödvändigt och Tillräckliga villkor

Bivillkorliga uttalanden är relaterade till villkor som är både nödvändiga och tillräckliga. Tänk på uttalandet ”om det är påsk i dag, så är det måndag i morgon.” Att idag vara påsk är tillräckligt för att imorgon ska vara måndag, men det är inte nödvändigt. Idag kan det vara vilken söndag som helst förutom påsk, och imorgon skulle det fortfarande vara måndag.

Förkortning